あなたの年収は日本で何番目に高い？年収分布とランダム性の話

格差考察シリーズ第３回。今回の記事では、世帯年収の格差についての統計学的なお話をしたいと思います。

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2021.02.07

検証「資産を100倍にした億トレーダー」は天才か？ウソつきか？それともただの偶然か？

2021.01.30

過去記事で色々と考察している過程で、副産物として世帯年収の日本全国におけるランキング推定式が見つかったので最初にご紹介します！

下のグラフが当ブログ算出の、世帯年収300万円～1500万円の範囲における世帯年収順位と上位パーセントを示すものです。おそらく当たらずとも遠からずという精度です。世帯年収だから夫婦合わせた収入としてくださいね！

2022/6/11追記　スマホでグラフが見えないという報告を貰ったので画像も貼ります。上のグラフが見れなかったらパソコンでアクセスしてみてください。

年収300万円未満が範囲にない理由は後述します。あとグラフをきれいに書くために1500万で止めているのですが

「もっと年収貰ってるわ。」

「うちらはパワーカップルや！」

なやんごとなきお金持ちの人はコメントください。結果を返信いたします。

しかしながら今回の記事は人様の家の年収をランク付けしてニヤニヤすることが目的ではありません。

このグラフ、じつは

• 年収の統計書から転記したものではなく！
• 単なる1つの数式をグラフにしたもの

なのであります。にも関わらずなぜ日本の年収ランキングだと胸を張って言い切れるのか？

まずはその算出経緯について説明します。でも難しい数学の話は知らなくていいです！しばしお付き合いを。

突然話題が飛んだ中見出しですが、実は冒頭の年収グラフは別記事で算出したランダム投資トレーディングの期待値を表すグラフを調整したものです。

詳しくは前回記事を参照いただきたいですが、こんなルールで取引したものです。

検証「資産を100倍にした億トレーダー」は天才か？ウソつきか？それともただの偶然か？

2021.01.30

前回記事を読んでいないとわけがわからないと思いますが、取引ルールを定めて100回取引後、101回取引後…みたいに資産分布の変化を数学的アプローチで全部調べていたんですね。

細かい話を抜きにすると、上記の取引回数が1185回目になったときのデータを平均値560万円になるように調整して、日本人の世帯年収分布の実績値と比べてみたら、なんとほぼ一致したというわけです。

まず、これ↓が政府の実測値。政府発表の世帯所得分布(厚生労働省、平成29年)。

そして↓が当ブログ算出の数式を重ね合わせたもの。

諸々の統計値を算出して並べると下表になります。

ただ年収100万円前後のデータはうまく一致しないのですね。そのかわり300万～400万の割合が少し高くなっています。これはおそらく年金生活者とかニートとか、労働自体に積極的に関与しない人たちの影響かなと思っています。もし彼らがフルタイム労働をすれば、分布は当ブログ算出式にもっと一致してくると思います。

ちなみにこのブログ推定式というのはカシオ社の二項分布高精度計算サイトを参考にして作りました。興味を持つ読者さんはゼロだと思いますが、一応厳密性のために書いておきます。下記の式でn=1185, p=0.5と置いています。コンビネーションのCとか懐かしいですね。

(3)upper cumulative distribution(上側累積確率) のx(コイン投げの勝数)はキモとなる数値なのですが、とにかく下画像に書いた式をグルグルっとエクセルで計算したら年収順位が推定できるというわけです。パソコンに書くのが凄まじく面倒なので手書きです。下式への誘導は説明すると長すぎるので割愛です！

さて、

• 政府統計の世帯年収分布
• 今回算出した二項分布が元になるデータ

はとてもよく一致することが分かりました。もう一度おさらいするとこの二項分布というのは

コインの裏表を当てる回数

みたいなイメージで、ランダムに勝敗が決まる行為の積み重ねによって現れます。そしてまさに今回の1185回のように、試行回数が何百回、何千回と増えてくると正規分布に近似される性質を持っています。つまり

世帯年収の分布は概ね正規分布している

と言えるわけです。

数学的な話は置いておいて、この正規分布というのは自然界のあらゆるところに存在するものなんですね。誤解を恐れずに言うと、例えば

• カブトムシの体長
• タンポポの種が飛んでいく範囲
• 梅雨明けの日付 etc.

みたいな「なんだかよく分からないがばらつきのあるもの」は大体正規分布すると思っておけば8割オッケーでしょう。1枚にするとこのイメージです！

そして今回分かったのは世帯年収もこの例外ではないということです。

じゃあなぜ自然現象や世帯年収は正規分布してしまうのか？それは下記サイトの説明が凄まじく分かりやすいのでコピーして載せておきます(誤字ママ)。

例えば, 上空から地上の定点を狙ってビーズを落としたとします。そのビーズの落下位置のばらつきを考えましょう。無風状態で, ビーズを保持するアームも, 落下装置も, まったく誤差がなければ, すべてのビーズは想定した落下点に命中します。しかし, 風が吹けばビーズは流されるし, アームが振動するれば, それに応じてビーズの落下点が狂います。ビーズの運動が書く要因による影響の積み重ね (線形結合) だとすると, 数多くの影響を積み重ねていくと, 中心極限定理によって正規分布にしたがいます。

引用：自然現象の多くはなぜ正規分布に従うのですか？

それで、ここからが大切なところです。

すなわち、現在の年収というのは過去の数多くのランダムイベントが積み重なって形成された数値なのだろう…と推定できるということなんです。ぱっと思いつく直接的要因は下記のようなものですよね。

• どんな教育をうけたか
• 親はどのような人だったか
• どのような性格が形成されたか
• 知力や体力がどのように育ったか
• どんな企業に就職活動をしたか

これらは当然物凄く年収に影響を与えます。今回のシミュレーションで言うとプラスマイナス50%くらいの利回りがある投資試行と言えるでしょう。

しかしこれ以外にも他愛のない間接的要因、例えば

• 子供のころのある日、公園に遊びに行ったか家にいたか
• 最初に覚えた平仮名はなんだったか
• 学生のころのある日、消しゴムを落としたか落とさなかったか
• 会社での雑用Aと雑用B、どちらを先に済ませたか

これらのようなおおよそランダムと言える小さな出来事だって、巡り巡って人格形成や能力形成、出会う人間に影響しているはずです。たまたま公園で出会った友達に何らかの影響を受けて未来を少し変えることは十分にあるでしょう。

このように、数十年の人生の中で何百万回何千万回も微小なランダム試行を繰り返し、その結果が現在の年収という数値に現れた…　→だから(ほぼ)正規分布しているのだ

と考えられるわけです。

本ブログはアーリーリタイアブログなので年収より資産額が重要です。しかし今回の記事では資産額分布との比較はしていません。ただ、年収が正規分布する限り資産額も正規分布することは自明であろうと思われます。

• どこに投資したか
• とある消費をしたか、しなかったか

日々の小さな分岐点の多さは年収の比ではなさそうです。

というわけでまとめです。

なんだか身も蓋もない結論となりました。

しかも過去の事象が現在にどういう影響を与えたのかはよくわかりませんよね。わたしが最初に覚えた平仮名が「の」ではなく「へ」だったら人生が変わっていたかもしれません。「た」だったらバタフライ効果で大金持ちだったかも。今も毎日が運命の分かれ道。

でもこれらを制御するのは不可能なことであります。だって、神様やラプラスの悪魔ならいざ知らず、人間にとってはやはりランダムとしか言えないのですから。考えるだけ無駄というものです。

しかしやはり資産形成は色々な小さなことの積み重ねなのは間違いありません。人生何が起こるかわかりませんが、少なくとも

• 目に見えるリスクを遠ざけ、
• 手を伸ばせば取れるものは全て取る

年収も資産形成も正規分布する自然の一部。人事を尽くして天命を待つしかなさそうです。

おわり